Bohužel, vstupní údaje jsou neúplné a i v nich je rozpor. Na jedné straně autor článku očekává průlet kolem Země v r. 2012, na druhé straně píše: "Podle posledních zjištění lze předpokládat, že G1.9 dosahuje již téměř svého maxima na oběžné dráze, ve smyslu přiblížení k Zemi a Slunci, což by bylo dle zjištění a tvrzení NASA přímo fantastické." Odmyslíme-li si kostrbatost této formulace, stejně není jasné, co je fantastického na takové vzdálenosti přísluní, nicméně nás autor vybízí, abychom nebyli optimističtí, protože objekt dále "roste".
I. Dráha planety a její průlet přísluním
 O hypotetické planetě uvádí autor tři údaje: Perioda má být T = 3600 let, momentální vzdálenost "od nás" (nejspíš tedy skutečně myšleno od Země) r = (60 - 66) AU (1 AU = přibližně 149.6 milionů km) a velikost "jako několikrát velikosti Jupitera" (sic!). Z těchto údajů ovšem nelze definovat dráhu tělesa. Musíme přidat další předpoklad - má-li planeta minout Zemi a způsobit katastrofu, měla by být přísluní poblíž dráhy Země. Připusťme pro jednoduchost, že vzdálenost přísluní q = 1 AU. Z těchto údajů už lze stanovit některé prvky dráhy.
1. Lze určit hlavní poloosu eliptické dráhy: 3. Keplerův zákon dává: {a} = {T2/3} = 36002/3 ~ 235. Perioda je v rocích, hlavní poloosa v astronomických jednotkách. Zde zanedbáváme hmotnost planety. Pokud bychom připustili, že je např. 50x hmotnější než Jupiter (tj. její průměr je 3.7x větší při téže hustotě), je její hmotnost MX = 9.5.1028 kg. Hmotnost Slunce je cca 2.1030 kg. V tom případě platí {a} = {[(T2(1+mp/ms)]1/3} ~ 239. Složené závorky znamenají operaci s číselnými hodnotami veličin.
2. Ze znalosti hlavní poloosy a vzdálenosti přísluní q lze určit číselnou výstřednost e. Platí vztah q = a(1-e), tedy e = 1-q/a = 0.996 pro obě hodnoty a. (přesněji: 0.9957 resp. 0.9958).
3. Ze znalosti číselné výstřednosti lze určit vedlejší poloosu dráhy b. Platí: b = a√(1-e2). Vycházejí hodnoty 21.7 AU, resp. 21.8 AU.
4. Z týchž hodnot lze určit parametr elipsy (pro neobeznámené s terminologií: je to délka průvodiče bodu na elipse, svírajícího pravý úhel s osou elipsy). Platí p = a(1-e2). Získáváme hodnoty 1.9957 AU, resp. 1.9958 AU (elipsa je velmi blízká parabole, u níž je p = 2q).
 5. Ze znalosti parametru a vzdálenosti tělesa určíme pravou anomálii ν, což je úhel sevřený průvodičem tělesa a hlavní osou elipsy. Pro jednodušší představu zaměníme směr pohybu tělesa (tj. zmenšíme pravou anomálii touto úvahou o 180°). Použijeme rovnici elipsy v polární soustavě s počátkem v ohnisku: r = p/(1+e.cosν). Odtud ν = arccos[(p-r)/e.r]. Tentokrát je rozptyl hodnot pro všechny kombinace hodnot a, r větší: od 166.1° do 166.9°.
6. Následuje několik kroků:
6.1. Určíme vzdálenost bodu na elipse od hlavní osy. Platí y = r.sinν.
6.2. Promítneme bod na elipse na kružnici o poloměru a, jejíž střed je ve středu elipsy. Směr promítání je rovnoběžný s vedlejší osou elipsy. Jedná se o afinní zobrazení v rovině, které provedeme násobením veličiny y poměrem a/b.
6.3. Vydělíme-li takto získané číslo velikostí hlavní poloosy a, obdržíme sinus excentrické anomálie E. Platí tedy E = arcsin(y/b). Získané hodnoty excentrické anomálie jsou v intervalu 41.2° až 43.8°. (Druhé možné řešení goniometrické rovnice sinE = y/b nepadá v úvahu, neboť r < a. Planeta je tedy na oblouku mezi vedlejším vrcholem elipsy a přísluním.)
Poznámka: Excentrickou anomálii lze rychleji vypočítat ze vztahu
tg(E/2) = √[(1-e)/(1+e)].tg(ν/2),
který je však nenázorný.
8. Ze střední anomálie už lze určit dobu t mezi průchodem přísluním a dosažení zadané vzdálenosti r nebo naopak - dobu, která uplyne, než těleso ze vzdálenosti r dospěje do přísluní. M je totiž definováno vztahem: M = 2π.t/P, tudíž t = M.P/2π. Nalezená hodnota t je v intervalu {36.2; 43.0} roků!
Závěr: Pokud by vůbec zmíněná planeta existovala, lze její průchod přísluním očekávat přibližně v roce 2050, žádném případě však ne v roce 2012. Nebylo by překvapující, kdyby autor příspěvku byl zažalován pro šíření poplašné zprávy.
II. Rozměry planety a její odhadovaná hvězdná velikost
Nyní ukážeme další důvod, proč je zmíněný článek zmatečný. Pokusíme se odhadnout současnou hvězdnou velikost m hypotetické planety. Vyjdeme z Pogsonovy rovnice určující vztah mezi poměrem světelných intenzit a rozdílem hvězdných velikostí. Rovnice zní:
m1-m2 = 2.5×log(I2/I1).
Výpočet opět provedeme v několika krocích. Využijeme srovnání se zmiňovanou planetou Jupiter.
- Vzdálenost Jupiteru od Slunce je 5.2 AU, vzdálenost planety položíme 63 AU (průměrná hodnota mezi udávanými 60-66 AU). Poměr vzdáleností je 12.1. Poněvadž osvětlení ubývá s druhou mocninou vzdálenosti, je planeta osvětlována 147× méně než Jupiter. Vyjádřeno ve hvězdné velikosti je to zeslabení o 5.4 mag.
- Při opozici Jupiteru jsme od něho vzdálení cca 4.2 AU. Planeta je tedy od nás 15× dále než Jupiter. Opět s ohledem na kvadratickou závislost se nám tedy jeví jen z tohoto důvodu 225× slabší, což představuje zeslabení o 5.9 mag.
- Planetě jsme však přisoudili 50× větší hmotnost, než má Jupiter, a to při stejné hustotě. Obsah průřezu planety bude 502/3 = 13.6× větší než u Jupiteru. Vyjádřeno v hvězdné velikosti to činí -2.8 mag.
Sečteme-li všechny rozdíly, zjistíme, že planeta má být v uvedené vzdálenosti 63 AU od Země (na konci srpna 2010) o 8.5 mag slabší než Jupiter. Poněvadž v opozici je hvězdná velikost Jupiteru -2.3 mag, plyne z toho, že diskutovaná planeta by měla mít hvězdnou velikost 6.2 mag. Byla by tedy pozorovatelná pouhým divadelním kukátkem. I kdyby měla menší odrazivou schopnost (albedo) než Jupiter, zůstala by i tak v dosahu možností malých dalekohledů, tudíž její existence by byla mimo pochybnost a především mimo možnost utajení. Naskýtá se tedy otázka, proč nám autor článku neudal souhvězdí, ve kterém se nalézá, když už ne její souřadnice. Na základě uvedeného si však jistě čtenář na tuto otázku odpoví sám.
Z uvedeného také plyne, že všechny výpočty jsou v dosahu možností čtenáře, který alespoň průměrně ovládá středoškolskou matematiku. Může proto volit jiné vstupní údaje, zejména pokud jde o vzdálenost perihélia q nebo velikost a hmotnost hypotetické planety. Každopádně má možnost odhalit nesmyslnost článků podobného druhu, jako je zde diskutovaný.
Tabulka 1. Postup výpočtu prvků dráhy provedený v Excelu.
| P (roky) |
3600 |
3600 |
3600 |
3600 |
| a (AU) |
235 |
235 |
239 |
239 |
| r (AU) |
60 |
66 |
60 |
66 |
| q (AU) |
1 |
1 |
1 |
1 |
| e |
0,995745 |
0,995745 |
0,995816 |
0,995816 |
| b (AU) |
21,65641 |
21,65641 |
21,84033 |
21,84033 |
| p (AU) |
1,995745 |
1,995745 |
1,995816 |
1,995816 |
| ν (AU) |
166,1364 |
166,8823 |
166,1195 |
166,8644 |
| y (AU) |
14,376674 |
14,97889 |
14,39383 |
14,99891 |
| y.a/b (AU) |
156,0054 |
162,5404 |
157,5125 |
164,134 |
| E (°) |
41,59438 |
43,76174 |
41,22731 |
43,37364 |
| E (rad) |
0,725959 |
0,763786 |
0,719552 |
0,757013 |
| M (rad) |
0,064931 |
0,075069 |
0,063262 |
0,073133 |
| T (roky) |
37,20267 |
43,01117 |
36,24635 |
41,90217 |
Poznámka: Kdybychom se zabývali poněkud odlišným modelem, podle něhož má Nibiru podobné rozměry jako Země, mohli bychom diskutovat problém, jak je Planeta X nyní (31. srpna 2010) na obloze jasná a jak je od Země daleko, aby prošla 21. prosince 2012 přísluním a srazila by se se Zemí (či se k ní nebezpečně přiblížila). Jak se ukáže, i rozměrově menší těleso - o velikosti Země, ne padesátinásobku Jupiteru - by nyní už na obloze byla dávno vidět.
Využijeme opět Keplerovy rovnice (postup uvedený výše pro zjištění polohy tělesa na dráze s užitím zmíněných anomálií E a M). Pro výpočet vzdálenosti užijeme dostačující vztah (bez počítání pravé anomálie)
r = a(1-e.cosE).
Z této rovnice nám vychází, že objekt by se měl nacházet dnes (31. srpna 2010) ve vzdálenosti rX = 8.9107 AU (to je vzdálenost o něco menší, než je vzdálenost Saturnu od Slunce). Abychom mohli vypočíst zdánlivou hvězdnou velikost na obloze, je třeba porovnat hvězdnou velikost Země z nějaké známé vzdálenosti. Využijme například "nedávného" záznamu sondy Hayabusa z května 2010. Sonda tehdy Zemi snímala ve vzdálenosti rZ = 0.0912 AU. Země měla na snímku hvězdnou velikost mZ = -8.3 mag. Z těchto údajů již lze hvězdnou velikost Nibiru (za předpokladu podobných rozměrů jako u Země) spolehlivě spočítat. Využijme opět Pogsonovy rovnice, z níž je třeba získat tvar pro počítání se vzdálenostmi. Víme, že jas je přímo úměrný kvadrátu vzdálenosti. Z toho vyplývá
mX-mZ = -2.5×log(IX/IZ) = -2.5×log(rX/rZ)2 = 5×log(rZ/rX).
Výsledkem mX-mZ je 9.95 mag. Nibiru je tedy ve své stávající vzdálenosti o 9.95 magnitudy na obloze slabší než Země ve vzdálenosti, z níž byla fotografována sondou Hayabusa (tedy mX = -8.3 mag + 9.95 mag). Její hvězdná velikost by byla nyní (31. srpna 2010) přibližně 1.7 mag. Pakliže by tedy existovala, její hvězdná velikost na obloze by byla větší než u nejjasnějších hvězd Velkého vozu! Zteží by tedy unikla pozornosti astronomů.
Tabulka 2. Postup výpočtu provedený v Excelu.
| t (roky) |
2,30800 |
| M (rad.) |
0,00402823 |
| E (rad.) |
0,260763 |
| r (AU) |
8,9107 |
| mX-mZ (mag) |
9,95 |
Reference: Vanýsek V., Základy astronomie a astrofyziky (Academia, Praha 1980)
Související: Konec světa v roce 2012 NEBUDE
|
