K tomuto cíli je třeba uvést související fyzikální pojmy a důležité hodnoty.
1. Pojmy z mechaniky
1.1. Potenciální (polohová) energie. Tělesu o hmotnosti m, které se nalézá v homogenním tíhovém poli s tíhovým zrychlením g ve výšce h nad zvolenou základní rovinou přísluší potenciální energie
Ep = mgh,
která se při volném pádu (bez odporu vzduchu) mění na jiný druh energie:
1.2. Kinetická (pohybová) energie.. Těleso o hmotnosti m, které se pohybuje rychlostí v má kinetickou energii
Ek = mv2/2,
Tato se může také měnit na jiné druhy energie včetně nemechanických (např. tepelnou).
1.3. Pohyb tělesa o hmotnosti m po kružnici o poloměru r je zapříčiněn dostředivou silou o velikosti
Fd = mv2/r,
2. Pojmy z teorie gravitačního pole
2.1. Newtonův gravitační zákon: Každá dvě tělesa na sebe působí stejně velkými opačnými gravitačními silami. V případě, že tělesy jsou tuhé, stejnorodé koule o hmotnostech m1, m2, je velikost těchto sil udána vztahem
Fg = κm1m2/r2,
kde r je vzdálenost středů těchto koulí a κ = (6,67428 ± 0,00067).10-11 N.m2.kg-2 (nebo také m3.kg-1.s-2) je Newtonova gravitační konstanta.
2.2. Potenciální energie tělesa v centrálním gravitačním poli. Centrální gravitační pole je vytvořeno tuhou homogenní koulí. V tom případě se nedá potenciální energie tělesa v tomto poli vypočítat podle vztahu v bodě 1.1, nýbrž podle vztahu
Ep = -κm1m2/r,
Na rozdíl od předešlých vztahů se tento ve středoškolské fyzice nezavádí, neboť je odvoditelný pouze integrací. Přitom je stanoveno dohodou, že dvě nekonečně vzdálená tělesa mají nulovou potenciální energii. Proto nás nesmí překvapit, že potenciální energie soustavy přitahujících se těles je záporná. S rostoucí vzdáleností těles roste Ep směrem k nule.
3. Pojmy z teorie gravitačního pole
| 3.1. Země: |
Hmotnost mZ = 5,9736.1024 kg
Poloměr rZ = 6,371.106 m (Zemi považujeme za kouli)
Poloměr kruhové dráhy Země je RZ = 1,496.1011 m
Součin κmZ = 3,987.1014 m3.s-2
|
3.2. Slunce: |
Hmotnost mS = 1,9891.1030 kg
Součin κmS = 1,3276.1020 m3.s-2
|
4. Kosmické rychlosti
Tyto pojmy mají čistě teoretický význam, neboť při jejich zavádění zanedbáváme tyto skutečnosti: Ve všech případech existenci zemské atmosféry, v případě pohybů kolem Země také existenci Slunce. Rovněž zanedbáváme hmotnost obíhajícího tělesa (tedy obvykle družice) vůči hmotnosti tělesa centrálního.
4.1. První kosmická rychlost vI. Jedná se o rychlost potřebnou k tomu, aby se družice Země o hmotnosti m udržela na kruhové dráze těsně při povrchu Země. Výchozím vztahem je tvrzení, že dostředivá síla je představována silou gravitační, tedy
Fd = Fg
a po dosazení podle výrazů z 1.3 a 2.1
mvI2 = κmZm/rZ2
což vede k výsledku
vI = √(κmZ/rZ)
Dosadíme-li pak číselné hodnoty z 3.1, máme
vI = 7,911.103 m.s-1
Místo "první kosmické rychlosti" se používá pojem "rychlost kruhová" při povrchu Země (vk). Uvedený postup je běžně uváděn ve středoškolské fyzice.
4.2. Druhá kosmická rychlost vII. Jedná se o rychlost potřebnou k tomu, aby družice opustila natrvalo gravitační pole Země (existence Slunce se neuvažuje). Jinými slovy - družice je schopna odletět od Země do nekonečna, kde se teprve může "zastavit". Podle 2.2 je její potenciální energie v nekonečnu nulová, kinetická rovněž, tedy součet obou je nulový, což ovšem musí platit na celé trajektorii (zákon zachování mechanické energie), tudíž i při startu s povrchu Země:
Ek + Ep = 0
tedy
mvII2/2 - κmZm/r = 0.
Řešením rovnice obdržíme
vII = √(2κmZ/rZ) = vI√2.
Po dosazení číselných hodnot máme
vII = vI√2 = 11,19.103 m.s-1.
Poněvadž družice teoreticky odlétá po parabolické trajektorii, nazývá se nyní vII "parabolickou rychlostí" při povrchu Země nebo rychlostí únikovou(vp). Její hodnota se ve středoškolské fyzice "předkládá k věření" (pro nemožnost odvození výrazu pro Ep).
5. Rychlosti při pohybu kolem Slunce
Pro zavedení třetí kosmické rychlosti je třeba nejprve vypočítat kruhovou a parabolickou rychlost při pohybu kolem Slunce ve vzdálenosti Země od Slunce.
5.1. Kruhová rychlost
vk = √(κmS/rZ) = 29,79.103 m.s-1
To je také průměrná rychlost Země (její hmotnost se v této úvaze zanedbává vůči hmotnosti Slunce) při oběhu kolem Slunce.
5.2. Parabolická rychlost
vp = vk√2 = 42,13.103 m.s-1
6. Třetí kosmická rychlost vIII
Jedná se o rychlost, kterou musíme udělit družici na povrchu Země, aby opustila trvale Sluneční soustavu (vliv planet neuvažujeme). V tomto případě jsou úvahy poněkud odlišné.
Především je při vypouštění družice optimální využít rychlost Země. Budeme ji tedy vypouštět (opět jen teoreticky) ve směru rychlosti Země. Tím pádem jí není nutno udílet rychlost 42,13 km.s-1, ale pouze (42,13 - 29,79) km.s-1 = 12,34 km.s-1. To ale není ještě správná hodnota, neboť jsme neuvažovali vliv gravitačního pole Země. Družici musíme dodat navíc ještě energii na překonání přitažlivosti Země. Poněvadž kinetická energie tělesa je přímo úměrná druhé mocnině jeho rychlosti, musíme sčítat druhé (nikoliv prvé!) mocniny hodnot rychlostí a výsledkem je druhá mocnina třetí kosmické rychlosti. Dostáváme:
vIII = √2(12,342 + 11,192) km.s-1 = 16,66.103 m.s-1
Vzhledem k složitější povaze věci se třetí kosmická rychlost ve středoškolské fyzice nezavádí. |
