2.1.2. Zobrazení stereografické

Stereografické zobrazení je promítáním povrchu glóbu z bodu protilehlého k bodu dotyku průmětny. Podle věty o vztahu mezi středovým a obvodovým úhlem platí pro poloměr obrazu rovnoběžky (v základní poloze)

r = 2R.tg(p/2).

Protože poloměr skutečné rovnoběžky (čáry stejné deklinace)je

Rsinp = 2Rsin(p/2)cos(p/2),

je

k_r = r/(Rsinp) = cos^-2(p/2)

Pro poledníkové zkreslení vychází tentýž výraz, a proto je toto zobrazení úhlojevné. Pro větší hodnoty p je však zkreslení ploch značné. Zobrazit lze teoreticky celou sféru vyjma středu promítání.

Zobrazení hlavní kružnice:
Pozoruhodnou vlastností stereografického zobrazení je skutečnost, že obrazy všech kružnic jsou kruhové, až na obrazy hlavních kružnic procházejících bodem dotyku, které jsou přímkové. Střed obrazu kružnice však není obrazem středu vzoru. (Střed kruhového obrazu je obrazem vrcholu kužele, který se dotýká zobrazované kružnice.)

Hlavní kružnice s pólem P[R, α, p] se zobrazí jako kružnice se středem S'[α, 2Rtgp] a poloměrem 2R/cosp, zatímco obrazem pólu hlavní kružnice bude bod P'[α, 2Rtg(p/2)]. Stereografickou projekcí lze zobrazit teoreticky celý glóbus až na střed promítání.

Zobrazení v poloze příčné:
Vzhledem k této vlastnosti se i v příčné poloze kreslí síť poledníků a rovnoběžek snadno. Obrazy deklinačních kružnic v úhlové vzdálenosti 90o od bodu dotyku jsou děleny rovnoměrně a všechny obrazy deklinačních kružnic se sbíhají v obrazu pólu pod stejnými úhly. Deklinační kružnice procházející bodem dotyku ovšem rovnoměrně dělená není.

Užití:
Stereografické sítě se hojně využívalo na starých astronomických přístrojích, z nichž jako zvláštní případ můžeme uvést orloj na Staroměstském náměstí v Praze. Stereografické zobrazení hvězdné oblohy se vyskytuje ve starších atlasech světa.

Obr. 2: Azimutální úhlojevné stereografické zobrazení v poloze polární (Malý atlas světa, Praha 1959)

2.1.3. Zobrazení Postelovo

Jedná se o velmi běžné a téměř zásadně užívané zobrazení hvězdné oblohy při polární poloze průmětny. Poloměry obrazů kružnic stejné deklinace jsou dány rovnicí

r = R.arcp

(arcp značí, že p je vyjádřena v radiánech). Tudíž

k_r = arcp.sin^-1p

k_p = 1

Deklinační kružnice jsou délkojevné. Při velkých polárních vzdálenostech dochází ke značnému zkreslení úhlů i ploch. Zobrazit lze teoreticky celou sféru, protilehlý pól se však zobrazí jako kružnice. V našich mapách bývá sféra zobrazována až do deklinace -40°, aby byla zachycena všechna souhvězdí u nás pozorovatelná.

Zobrazení hlavní kružnice:
Otázka zobrazování hlavní kružnice (předpokládáme polární polohu průmětny)je složitější, než v předchozích případech. Uvažujme nejprve hlavní kružnici procházející jarním a podzimním bodem se sklonem p, což znamená, že pól této kružnice je bod P[R, -90°, p]. Deklinace obecného bodu kružnice je určena rovnicí

tgδ = tgp.sinα.

Pro α = 90°, je δ = p. Polární vzdálenost tohoto bodu kružnice je 90° - δ. Souřadnice obrazu bodu kružnice na mapě jsou [α, R.arc(90° - δ). Přitom

arc(90°-δ) = arc[90°-arctg(tgp .sinα)].

Nachází-li se "vzestupný uzel" hlavní kružnice v bodě o rektascenzi α_o (tj. pól hlavní kružnice má souřadnice [R, α_o-90°, p] a jeho obraz je P'[α_o-90°, R.arcp], je třeba dosadit do argumentu funkce sinus hodnotu α-α_o. Tohoto zobrazení používají také otáčivé mapy oblohy. Tyto mapy lze zařadit mezi vyrovnávací.

Obr. 3: Azimutální Postelovo zobrazení v poloze polární (Kapesní atlas ČSČK 1931)

Reference
[1] Budějický J., Plavcová Z., Plavec M., Radioastronomie (ČSAV, Praha 1962)
[2] Internet, www.wikipedia org
[3] Lovell B., Meteornaja astronomija (Moskva 1958)
[4] Rükl A., Constelations et Planetes (Gründ, Paříž 1988)
[5] Rükl A., soukromé sdělení
[6] Šulc M., Povídání o mapách, KR 1997, No 2, No 3, KR 1998, No 1.