6. Relativistický Dopplerův jev
Pro odvození Dopplerova jevu pro rychlosti v porovnatelné s rychlostí šíření elektromagnetického vlnění ve vakuu c je třeba nejprve uvést rovnice Lorentzovy transformace souřadnice a času. Přitom se omezíme na nejjednodušší případ.
Nechť jsou dány dvě vztažné soustavy S, S’, totožné v čase t = t’= 0. Nechť se S’pohybuje vůči S tak, že počátek O’soustavy S’se pohybuje po ose x rychlostí v (tudíž osy x a x’ splývají). Pak platí zejména:
x’ = (x - vt)/√[1 - (v/c)2],
t’ = (t - vx/c2)/ √[1 - (v/c)2]
(nečárkované veličiny platí pro soustavu S, čárkované pro S’). Nechť v okamžiku t = t’= 0 je vyslán z počátku soustav světelný signál šířící se m.j. i ve směru kladné poloosy x. Rovnice pro okamžitou elektrickou intenzitu vlnění na ose x v soustavě S může mít např. tvar
E = Eosin[2pf(t - x/c)]
v soustavě S a v soustavě S’ pak
E = Eo sin[2pf’(t’ - x’/c)].
Fáze světlené vlny nemůže být za této situace závislá na volbě vztažné soustavy, takže
f(t - x/c) = f’(t’ - x’/c),
a po dosazení
f.(t - x/c) = f’.{(t - vx/c2)/ √[1 - (v/c)2] - (t - vx/c2)/(c √[1 - (v/c)2])},
což lze upravit na rovnici
f.(t - x/c) = f’.(t - x/c)(1 + v/c)/ √[1 - (v/c)2].
Zřejmě tedy
f = f’.(1 + v/c)/ √[1 - (v/c)2],
a tudíž
f’= f.√[1 - (v/c)2]/(1 + v/c),
ale také
f ‘= f.√[(1 - v/c)/(1 + v/c)] = f.(1 - v/c)/ √[1 - (v/c)2].
Zde f představuje "laboratorní" frekvenci, f’frekvenci pozorovanou. Připustíme-li, že (v/c)2 < 10-6 lze zanedbat, pak již pro v < 10-3 c , tedy v < 300 km/s, přechází relativistický vztah na klasický. Nerozlišitelnost pohybu zdroje od pohybu pozorovatele je zřejmá. Význam má jen pohyb relativní.
Pro poměr v/c pak platí, nahradíme-li f znakem fo a f’znakem f:
v/c = [1 - (f/fo)2]/[1 + (f/fo)2]
6.1. Příčný Dopplerův jev
Koná-li zdroj záření pohyb ve směru kolmém na směr pozorování dochází rovněž ke snížení frekvence v důsledku dilatace času:
f = fo√[1 - (v/c)2]
7. Význam
Závažnost Dopplerova jevu v astronomii je všeobecně známa, nicméně si ji připomeňme.
Především v důsledku jevu dochází k rozšíření spektrálních čar ve spektru hvězd. Zářící atomy mají rozmanité a dosti vysoké rychlosti (např. střední kvadratická rychlost atomů vodíku při 6000 K je větší než 12 km/s). Další rozostření je způsobeno případným turbulencemi v atmosférách hvězd a rotací hvězd.
Dopplerův jev umožňuje odhalit dvojhvězdy, nerozlišitelné v dalekohledech, pokud rovina oběhu složek není kolmá k pozorovacímu paprsku. Dochází k rozštěpení spektrálních čar, které kolísá podle velikosti radiální rychlosti složek. To umožňuje studium pohybu složek těchto tzv. spektroskopických dvojhvězd. I u obyčejných hvězd v Galaxii lze zjišťovat z posuvu spektrálních čar jejich radiální rychlosti.
Kosmologický červený posuv umožňuje určovat rychlost vzdalování galaxií a s přesností, se kterou je známa i Hubbleova konstanta, také jejich vzdálenosti.
V kosmonautice dopplerovské radiolokátory na kosmických sondách umožňují určit jejich rychlost vůči objektům ve Sluneční soustavě.
Poznámka: Dopplerův jev využívají k orientaci i některé druhy z řádu letounů. Např. vrápenec velký vysílá ultrazvuk konstantní frekvence a posuv frekvence vyhodnocuje pomocí rezonátoru v lebce.
Reference:
[1] Horáček., Létající savci (Academia, Praha 1986)
[2] www.wikipedia.org
|
