6. Relativistický Dopplerův jev

Pro odvození Dopplerova jevu pro rychlosti v porovnatelné s rychlostí šíření elektromagnetického vlnění ve vakuu c je třeba nejprve uvést rovnice Lorentzovy transformace souřadnice a času. Přitom se omezíme na nejjednodušší případ.

Nechť jsou dány dvě vztažné soustavy S, S’, totožné v čase t = t’= 0. Nechť se S’pohybuje vůči S tak, že počátek O’soustavy S’se pohybuje po ose x rychlostí v (tudíž osy x a x’ splývají). Pak platí zejména:

x’ = (x - vt)/√[1 - (v/c)²],

t’ = (t - vx/c²)/ √[1 - (v/c)²]

(nečárkované veličiny platí pro soustavu S, čárkované pro S’). Nechť v okamžiku t = t’= 0 je vyslán z počátku soustav světelný signál šířící se m.j. i ve směru kladné poloosy x. Rovnice pro okamžitou elektrickou intenzitu vlnění na ose x v soustavě S může mít např. tvar

E = E_osin[2pf(t - x/c)]

v soustavě S a v soustavě S’ pak

E = E_o sin[2pf’(t’ - x’/c)].

Fáze světlené vlny nemůže být za této situace závislá na volbě vztažné soustavy, takže

f(t - x/c) = f’(t’ - x’/c),

a po dosazení

f.(t - x/c) = f’.{(t - vx/c²)/ √[1 - (v/c)²] - (t - vx/c²)/(c √[1 - (v/c)²])},

což lze upravit na rovnici

f.(t - x/c) = f’.(t - x/c)(1 + v/c)/ √[1 - (v/c)²].

Zřejmě tedy

f = f’.(1 + v/c)/ √[1 - (v/c)²],

a tudíž

f’= f.√[1 - (v/c)²]/(1 + v/c),

ale také

f ‘= f.√[(1 - v/c)/(1 + v/c)] = f.(1 - v/c)/ √[1 - (v/c)²].

Zde f představuje "laboratorní" frekvenci, f’frekvenci pozorovanou. Připustíme-li, že (v/c)² < 10^-6 lze zanedbat, pak již pro v < 10^-3 c , tedy v < 300 km/s, přechází relativistický vztah na klasický. Nerozlišitelnost pohybu zdroje od pohybu pozorovatele je zřejmá. Význam má jen pohyb relativní.

Pro poměr v/c pak platí, nahradíme-li f znakem f_o a f’znakem f:

v/c = [1 - (f/f_o)²]/[1 + (f/f_o)²]

6.1. Příčný Dopplerův jev
Koná-li zdroj záření pohyb ve směru kolmém na směr pozorování dochází rovněž ke snížení frekvence v důsledku dilatace času:

f = f_o√[1 - (v/c)²]

7. Význam

Závažnost Dopplerova jevu v astronomii je všeobecně známa, nicméně si ji připomeňme.

Především v důsledku jevu dochází k rozšíření spektrálních čar ve spektru hvězd. Zářící atomy mají rozmanité a dosti vysoké rychlosti (např. střední kvadratická rychlost atomů vodíku při 6000 K je větší než 12 km/s). Další rozostření je způsobeno případným turbulencemi v atmosférách hvězd a rotací hvězd.

Dopplerův jev umožňuje odhalit dvojhvězdy, nerozlišitelné v dalekohledech, pokud rovina oběhu složek není kolmá k pozorovacímu paprsku. Dochází k rozštěpení spektrálních čar, které kolísá podle velikosti radiální rychlosti složek. To umožňuje studium pohybu složek těchto tzv. spektroskopických dvojhvězd. I u obyčejných hvězd v Galaxii lze zjišťovat z posuvu spektrálních čar jejich radiální rychlosti.

Kosmologický červený posuv umožňuje určovat rychlost vzdalování galaxií a s přesností, se kterou je známa i Hubbleova konstanta, také jejich vzdálenosti.

V kosmonautice dopplerovské radiolokátory na kosmických sondách umožňují určit jejich rychlost vůči objektům ve Sluneční soustavě.

Poznámka: Dopplerův jev využívají k orientaci i některé druhy z řádu letounů. Např. vrápenec velký vysílá ultrazvuk konstantní frekvence a posuv frekvence vyhodnocuje pomocí rezonátoru v lebce.

Reference:
[1] Horáček., Létající savci (Academia, Praha 1986)
[2] www.wikipedia.org